Unua paĝo
Nia teamo
Kontaktoj
Pri ni

    ĉefpaĝo


Strukturo de konstruteorio Stato-ekvacioj

Elŝuti 984 b.

Strukturo de konstruteorio Stato-ekvacioj




Dato19.11.2017
Grandeco984 b.

Elŝuti 984 b.



strukturo de konstruteorio

  • Stato-ekvacioj

  • La bazaj stato-ekvacioj estas vaste analizataj helpe de matricaj formuloj en verko de J.Szabo, B. Roller (1978). Chi tie oni montras ilin en unuigita, pli facile instruebla formo.

  • Gheneralaj aspektoj

  • Ox : priskribo de obiekto  Estas komenca tasko de analizado – elekti matematikan priskribmetodon de analizata obiekto. ghi povas esti la analitika geometrio de spaco au ebeno, la diferenciala geometrio, la teorio de struktur-nombroj. La supra indekso indikas la elektitan metodon, chi tie: x (au xyz) - kartezia rektangula koordinatsistemo.

  • STA: statika aspekto  Difinas la tutecon de rilatoj inter la eksternaj fortoj agantaj al konstrukcio kaj evokitaj de ili internaj respondoj, t.e. internaj strechoj.

  • GEO: geometria aspekto  Difinas la tutecon de rilatoj inter la translokigho de elektita materia punkto kaj la interna deformado de konstukcio.

  • FIZ: fizika aspekto  Aplikado de fizika legho, kiu ligas la geometrian kaj statikan parton de tasko.

  • Sur bildo-1 oni vidas la grafon kun operatoroj de priskribitaj aspektoj.

  • La celo de chiu teorio estas trovi la rilaton inter kauzo kaj efiko.

  • En konstru-teorio tiu celo estas trovi rilaton inter ekstera forto Q (kauzo)

  • kaj translogigho de kunligita punkto q (efiko).

  • Priskribo de rilatoj inter mekanikaj strechoj kaj deformoj (f ) estas tasko

  • de materialscienco. Trovi operatorojn g , s ,  estas baza tasko de konstruteorioj.



Identigo de konstrukcio en konstruajho

    • Identigo de konstrukcio en konstruajho
    • Klare, ju pli simpla la konstrukcio des pli facila estas ghia teoria analizo.
    • Inter konstrucioj ni diferncigas lau ilia amplekso ( linia, ebena, spaca) kaj ilia chefa eco dum eksploado. El konstruteoria vidpunkto tia chefa eco estas la fleksebleco je agantaj al ghi fortoj. Ekzemple, neniu volus uzadi ponton, kiu fleksighas tro alte dum traveturo. Do, ekzistas granda nombro da konstruajhoj, kies geometriaj ecoj ne povas videble shanghighi dum eksploado. Ni akceptas por ili nur malgrandajn deformojn .
    • (La limoj de tiu grandeco estas teknike normigita.)
    • Regulo de superpozicio
    • Lau tiu regulo oni rajtas analizi influojn de variaj kauzoj (sharghoj) sendepende kaj simple sumigi la partajn efikojn al fina rezulto. Tiu regulo simplifigas la analizon sed estas nur valida por konstrukcioj de malgrandaj deformoj, kies geometriaj ecoj ne aliformighas kauze de sharghoj.
    • Konstrukcio kaj elementoj
    • chiu konstrukcio povas esti pritraktata kiel ara da konstrukciaj elementoj.
    • Lau bezono oni rajtas plue dividi elementon ja subelementoj, ktp.
    • En tabelo-1 estas klasifikitaj la bazaj konstru-elementoj. El ili oni povas konstrui iu ajn konstruajhon pere simpla kunligado de elementon kun alia en taugaj por tio nodoj.
    • Do, ankau inverse. La konstruajhon oni povas teorie dividi je elementoj lauvole –sed estas konsilinde elekti iun teorian helpkriterion por ke la divido estu plej tauga por teoria anlizado.
    • Eksteraj fortoj Qa
    • Funkcio de konstruajho estas kontraustarigi al aktivaj fortoj Qa agantaj al multaj punktoj de ghia korpo.
    • Eksteraj premoj qe
    • La ligiloj de konstruajho kun grundo devas esti stabilaj. Sed okazas, ke translokoj qe de fundamentaj punktoj influas la tutan konstrukcian staton kaj estas necese prikalkuli ilian efikon.


Internaj premoj t (kinematika shargho)

    • Internaj premoj t (kinematika shargho)
    • Influo de temperaturo, materia malshvelo, lantmovo, teknologia difekto ktp. elvokas premojn t en konstruajho, do ankau internaj strchoj. Por simplaj konstuajhoj oni ofte neglektas tiun influon pro kunligitaj kun tiu aspekto teoriaj malfacilajhoj.
    • Identigado de konstrukcio
    • Per nocio “konstruajho” ni komprenu la okule videblan obiekton. Por teoria analizo oni devas abstrahi de multaj fizikaj aspektoj, por ke la analizado ne estu infinite malfacila.
    • Konstrukcio estas sistemo da elementoj, elektita per konstruanto, kiel teoria modelo de konstruajho.
    • Difino de konstrukciaj elementoj okazas teorie pere elekto de nodoj en kiuj la elementoj kunligighas., au inverse – la nodoj dividigas la konstrukcion je elementoj. Elekto de nodoj okazas lauvole sed plej nature estas atenti la proprajhojn de konstruajho kaj praktikecon dum priskribado.
    • Por analizado la konstrukcio devas esti identigita, t.e. izolita el la chirkauajho, Tio signifas, ke oni devas liberigi la konstrukcion el ligiteco kun grundo. Do, oni rajtas tranchi chiun ligilon kondiche, ke ni enkondukas en la tranchofaco respektivajn fortojn lau unua Newton-legho pri akcio kaj reakcio.
  • Post liberigo de konstrukcio el ligiloj (anstatauigo per reakcioj) la izolita konstrukcio kun agantaj al ghi eksteraj fortoj devas resti en konstanta senmovo. Tio eblas nur, se chiuj fortoj agantaj al konstrukcio, la eksteraj fortoj kune kun reakcioj, estos en ekvilibro – ilia resultant-forto estos nulo!



Priskribo

    • Priskribo
    • Divido je elementoj
    • Per elekto de nodoj (tranchoj) oni dividas la konstrukcion je elementoj. Ni numerigu chiun elementon per du indeksoj (i,j) – kie i estas numero de komenco kaj j numero de ghia fino (chiam j>i).
    • Post denova kunmeto de elementoj en la nodoj ni ricevos ilian numeradon.
    • Kartezia maldekstra koordinatsistemo (Kmk)
    • Lau analizata tasko oni uzadas ebenan au spacan kmk. Ofte okazas, ke konstruajho posadas elementojn kies ecoj estas jam priskribitaj en alia Kmk‘. Do, elfuas tasko transponi la vektorojn el unua al alia KMK.
    • Unue ni elektu ghenerala kmk (x,y,z) kaj priskribu en ghi koordinatojn de konstrukciaj nodoj.
    • Por chiu elemento ni elektu lokan koordinatsistemon (ξ,η,ζ), kies komenco trovighas en komenca punkto (i) de elemento. La akso (ξ) direktita al fina punkto (j). Aksoj (η,ζ) direktitaj lau chefaj inercio-aksoj de trancho.
    • La relativajn inklinojn de konstrukciaj elemntoj entenas la matrico Π, kies elementoj estas la direktaj cosinusoj inter respektivaj aksoj de ghenerala kaj loka kmk.
    • Helpe de turnomatricoj Πo kaj Πo* oni povas lau bezono transponi vektorojn el unu al alia kwk.
    • La longeco de vektoro estas komprenebla sendependa de kmk. ghi povas esti kalkulita en ghenerala kmk lau ekvacio:
    • |vij | = √(xj-xi)2 + (yj-yi)2 + (zj-zi)2
  • Lau tiu rilato ni kalkulos la longecojn de chiuj (i,j) konstruelementoj.



strukturo de konstruteorio

    • Nodo-sharghoj. Ni pritraktu momente nur eksternajn fortojn, agantaj en nodoj de konstrukcio. Ni priskribu ilin pere de ghiaj komponentoj lau aksoj de ghenerala kmk (x,y,z), ordigitaj kiel sekvas:
    • Qn = (Qn,x Qn,y Qn,z Qn,yz Qn,xz Qn,xy)
    • n - indekso de nodo
    • Qn - matrico de eksterna shargho en nodo n
    • Qn,x - forto-komponento lau akso x
    • Qn,y - forto-komponento lau akso y
    • Qn,z - forto-komponento lau akso z
    • Qn,yz au Mn,x - momento en ebeno yz
    • Qn,xz au Mn,y - momento en ebeno xz
    • Qn,xy au Mn,z - momento en ebeno yz
    • sharghojn de tuta konstrukcio entenas shargho-matrico
    • Q = (Q0 Q1 ....Qn ...)
    • Nodo-translokoj - Konforme al matrico de shargho Q ni priskribu matricon q, kiu entenas komponentoj de nodo-translokojn interkonformajn kun komponentoj de shargho-matrico Q, do analogie en por chiu nodo:
    • qn = (qn,x qn,y qn,z qn,yz qn,xz qn,xy)
    • n - indekso de nodo
    • qn - matrico de transloko de nodo n
    • qn,x - transloko-komponento lau akso x
    • qn,y - transloko-komponento lau akso y
    • qn,z - transloko-komponento lau akso z
    • qn,yz au mn,x - turnangulo en ebeno yz
    • qn,xz au mn,y - turnangulo en ebeno xz
    • qn,xy au mn,z - turnangulo en ebeno yz
    • Transloko-komponentojn de tuta konstrukcio entenas transloko-matrico
    • q = (q0 q1 ....qn ...)


strukturo de konstruteorio

    • Analizo de elemento (ij)
    • Priskribo: en loka kmk ( ξηζ )
    • Ni elektu komencon de kmk en pezocentro de trancho (i) .
    • Koordinat-akson ξ oni direktu lau akso de elemento.
    • Koordinat-aksojn ηζ direktu lau chefaj inercmomentoj de trancho.
    • Elemento-speco: stango izolita el konstrukcio per du tranchoj (i), (j) kaj sharghita nur al bordoj.
    • Forto-komponantoj:
    • 3 komponantoj de linia forto: Uξ, Uη, Uζ
    • 2 komponantoj de flekso-momento: Uξη, Uξζ (au Mζ, Mη)
    • 1 torno-momento Uηζ (au Mξ)
    • Ekvilibro-ekvacioj
    • Estas necese, ke la fortoj agantaj al chiu elemento estu en ekvilibro. Do, por chiu elemento (ij) oni devas plenumi 6 statikajn ekvaciojn. Rilate al punkto (i) oni formulas:
  • Ụξ - Uξ = 0

  • Ụη - Uη = 0

  • Ụζ - Uζ = 0

  • ηζ - Uηζ = 0

  • ξζ + lijUζ - Uξζ = 0

  • ξη - lijUη - Uξη = 0

  • Rimarko:chi tie, pozitivaj forto-direktoj en (j) kongruas kun kirektoj de loka kmk. Krome, pozitivaj forto-direktoj en (i) kongruas – kiel reakcioj – kun negativaj direktoj de loka kmk.



strukturo de konstruteorio

  • Ni supozas, ke la elemento estas rigida , krome translokoj kaj angulaj deformoj estas tiom malgrandaj, ke validas: sinα =α , cosα = 1.

  • Tial o ni povas formuli, en loka kmk, ses geometriajn rilatojn inter translok-komponantoj de ambau bordoj:

    • uξ = ụξ
    • uη = ụη + lij×ụξη
    • uζ = ụζ - lij×ụξζ
  • uηζ = ụηζ

  • uξζ = ụξζ

  • uξη = ụξη (2)

  • au matricforme en loka kmk: uj( ξηζ )= Bij ụi( ξηζ )

  • kie Bij nomata estas

  • transig-matrico de (ij)

  • Uzante matricon

  • Lij =

  • oni ricevos transig-hipermatricon:



strukturo de konstruteorio

  • Simile, oni povas skribi suprajn ekvilibrig-ekvaciojn (1) por chiu elemento (ij) matricforme:

    • au
    • surprizo:


strukturo de konstruteorio

    • Elasteco de elemento
    • El bildo 1 oni legas, ke operatoro Ω entenas la fizikajn rilatojn Ωf kiuj estas detale analizitaj en materialscienco. chi tie oni listigis la rilatojn U→u por stangaj elementoj (ij) kun konstantaj ecoj.
    • ( Д - деформйруемость )
    • kie Дij estas flekseblec-matrico de elemento (ij). Ni povas nomi ghin ankau elastec-matrico char ghi entenas la fizikajn ecojn de elemento. Oni preferu la nocion de elastec-matrico,char ghi esprimas chi tie la plej malaltan shtupon de analizo de elemento.


strukturo de konstruteorio

    • Rigideco de elemento
    • Inverso de rilato (5) :
    • permesas prikalkuli la internajn fortojn (au strechoj) de elemento. En ghi la inverso de fleksiblec-matrico (elastecmatrico) estas ankau nomata rigidec-matrico Җ.
    • Detale, por la pritraktata staba elemento estas:
    • ( Җ - җёсткость )




strukturo de konstruteorio







strukturo de konstruteorio

    • Konsidero de nodoj
    • Supre ni uzadis en stato-ekvacio fortojn kaj parencajn transolojn apartenantaj al elemento-randoj, indeksitaj i,j.
    • Praktike la sharghoj chiam estas priskribataj en nodoj. Lau tiu praktikado ni devas enkonduki aron da eksteraj fortoj Q kaj parencaj traslokoj q apartenantaj al nodoj kaj trovi la transmitanton inter obiektoj de elemento-randoj kaj nodoj.
    • En tiu transmitanto oni povas ankau difini la fizikajn ecojn de nodoj, ekzemple la rigideco de kuplo inter elementoj au kinematikajn kondichojn.
    • Ni atentu, ke post rigida kunmeto de elementoj tranloko de nodo egalas transloko ligitaj elemento-randoj. Ni trovu la menciitan transmitanton por konkreta strukturo:
    • La kontinuo-kondichoj liveras:
  • Simile: Q = P*Qij



strukturo de konstruteorio

    • Post introduko de kuplomatricoj la komponantoj de stato-ekvacioj shaghos iomete kaj oni introdukis latinan simbolojn G,F lau kutimoj de J.Szabo kaj B.Roller [2], por mallongigita geometria matrico kaj hiperdiagonalmatrico de fizikaj rilatoj:
    • Kaj finfine, la hipermatrica stato-ekvacio estas:


strukturo de konstruteorio

    • Solvo de stato-ekvacio
    • La stato-ekvacio (10) prezentighas en konstruita kuplografo kiel kvarpolusumo. Nun ekestas pure matematika tasko: inversigi la transmitancon S, t.e. trovi la inversan matricon S-1.
    • Trovi la inverson S-1 oni povas lau konataj reguloj de matrickalkulado. Sed ankau reguloj de inversado de branchoj, lau teorio de traflua grafoj, ebligas inversigi unu post unu brancho - komencante en nodo (-K) - ghis kiam oni alvenos al serchataj nodoj uj , ụi , Uj.
    • La kuplografo de solvita stato-ekvacio karakterizighos per tio, ke chiuj branchoj estas direktitaj el grafa fontoj (chi tie verdaj nodoj Q , tij ) al grafa putoj (chi tie rughaj nodoj uj , ụi , Uj ).
    • Sur kuplografo trovighas chiuj necesaj transmitantoj de problemo-solvo por analizata konstruteorio.
    • Aplikitaj abrevajhoj:
    • La transmitanto S-1 estas nun la anonsita che la komenco serchota operatoro Ω.
    • Tiamaniere oni recivis nekonatajn grandojn U kaj u.
    • chi tie ni ankorau ne diskutis la grandecon de aplikitaj matricoj. Tio estas malfacila tasko kaj estos difinotaj kun chiu konkreta tasko denove.


strukturo de konstruteorio

    • Metodo de fleksibleco (kun hiperstatikaj fortoj X)
    • El ekstera vidpunkto, chiu konstrukcio konsistigas el elementoj kaj ligiloj, kiuj ilin kunigas je konstruktaro krome fiksigas konstrukcion en chirkauajho, kaj sharghoj, t.e. fortoj, kiuj agas al konkretaj punktoj de konstruaro.
    • Permesitaj operacioj je ligiloj
    • chiu analizo bazighas je priskribo de elementoj elektitaaj kiel bazaj konstrueroj, kies proprecoj estas konataj. ghusta elekto de elementoj povas esence faciligi la tutan analizon. Pro tio oni devas scii kiaj operacioj je konstruaro estas permesitaj, por ke ne ekestu eraro. Oni povas facile sperti, ke per aldon de plua ligilo en konstrukcio, la konstrukcio plejparte komplikighas, kaj inverse. Kiom da ligiloj estas necese bezonataj, por ke la elementoj estu en daura ekvilibro kaj kontinuo estas chefa tasko de kinematiko.
    • Regulo: la stato de konstrukcio ne shanghas se oni anstauas ghian ligilon per koresponda fortoparo
    • Surbaze de tiu regulo oni elektas la aron de hiperstatikaj fortoj X por donata konstruktaro.
    • Etapo 1
    • Identifikigu konatajn sharghojn (R) kaj hiperstatikajn fortojn (X), krome la parencajn translokojn (r) kaj (x).
    • Modela kondicho: En punktoj de forigitaj ligiloj kaj enkondukitaj fortoj (X) ne rajtas ekesti diskontinuo x, do en tiuj punktoj sumo de translokoj (xr+xx) ekestontaj kauze de fortoj (X) kaj sharghoj (R) estas nulo.
    • Momenta malfacileco estas, ke oni ne konas la necesaj feleksiblecojn por plenumi la kinematikan ekvacion
    • xr+ xx = 0
    • au FxX + xr = 0


strukturo de konstruteorio

    • Etapo 2
    • Post divido, pere de elekto (X), de konstrukcio je konataj elementoj oni devas priskribi la fleksiblecon Дij por chiu elemento (ij).
    • Por trabo ni havas
    • Poste oni kunmetu la matricojn Дij je diagonala hipermatrico Дu de elementaro
    • Kupladmatrico T enhavas nur unuojn kaj estas konstruita simple lau skemo:
    • kolumno U T kolumno X
    • elemento:
    • 1
    • 2
    • 3
  • Post kunligo de transmitantoj: Fx = T*ДuT



strukturo de konstruteorio

    • Etapo 3
    • Simile oni povas trovi la fleksiblec-matricon kunligantan sharghon Q kun translokoj rx en punktoj de fortoj X.
    • chi tie aperas malfacilagho. La fortoj R devas agi en nodaj punktoj U de elementoj. Do ni devas redukti ilin al respekivaj nodoj. Kiamaniere tion fari estas flanka tasko.
    • Momente ni supozu, ke la reduktitaj fortoj estas R.
    • Post difino de transmitanto Tr de eksteraj fortoj oni povas prikalkuli feksiblecon FR kaj relacion
    • rx = FRR = (T*ДuTr)R
    • Nun oni povas detale difini la menciitan kinematikan ekvacion kaj elkalkuli la hiperstatikajn fortojn X.
    • Kie Tr transormas eksternajn fortojn. ghiaj komponantoj estas fortoj en elementoj elvokitaj per unueco de shargho.


strukturo de konstruteorio

    • Solvo de kinematika ekvacio
    • Post inverso de fleksibilec-matrico Fx oni povas jam prikalkuli la hiperstatikajn fortojn X , krome la internaj fortoj en elementoj.
    • X = -Fx-1rx = -Fx-1(T*ДuTq)R
    • U = TrR + TX
    • au U = TrR + TX1R = (Tr+ TX1)R = AR
    • kie X1 entenas valorojn de hiperstatikaj fortoj konformaj al aplikata shargho kaj matrico A enhavas fortoj elvokitaj per unueco de aplikata forto kun konforma hiperstatika forto.
    • Nun oni povas ankau prikalkuli la translokojn (r) konformaj al fortoj R.
    • r = T ДuBR = FR
    • kie F estas nun la fleksiblec-matrico de konstrukcio.


strukturo de konstruteorio

    • Metodo de rigideco (kun kromaj rigidiloj)
    • Ni pritraktu la kinematikan flankon de konstrukcio. Oni povas aldoni al konstrukcio kromajn ligilojn ghis kiam nodoj de konstrukcio estu rigidaj je rotacioj kaj transokoj.
    • En realo tiaj kromaj ligiloj ne ekistas, do statike dirite – ekestas kondicho, ke sumo do fortoj en en chiu kroma ligilo estu nulo. Kiom da ligiloj estas necesaj indikas kinematika liberogrado (n) de konstrukcio.
    • Post enkonduko de ligiloj oni pritraktu nun la konstruktaron kiel aro da (m) individuaj elementoj.
    • Por chiu elementu oni difinu rilatojn inter ghiaj randofortoj kaj parencaj translokoj.
    • Helpe de Castigliano-metodo ni ricevas ekzemple:
    • por fiksranda trabo en ebeno
    • por stango
    • au en ghenerala kazo, validas la rigidecrilato (7 )
    • Do, por chiu elemento validas relacio: Uij = Жij uij
  • Kaj por tuta nekonektita elementaro: U = Жu



strukturo de konstruteorio

    • Statika kondicho
    • Iu ajna ligilo (i) kontrauas translokon (zi), kio kauzas ekesto de forto (Zi) en tiu ligilo, krome ankau fortojn (Zj) en aliaj ligiloj (j). En realo la ligiloj ne ekzistas, do oni devas ordoni, ke chiu ligilo-forto estu nulo. Tio povas okazi, se la nodo-fortoj Ri (elvokataj de konstrukcio-shargho Q) ekvilibrigos la ligilo-forto, tio signifas, ke por chiu ligilo plenumighu simple statika ekvacio:
    • Zi + Ri = 0
    • au Zi = - Ri
    • Transformo de rigideco
    • Nun oni kunligu la aron de translokoj ri kun aro da nodaj translokoj ui de elementaro per transformo
    • uz = Tz
    • kie T estas transmitanto de translokoj zi=1. Kolumno (i) de T apartenas al zi=1 kaj la linioj ordigataj estas lauvice de elementoj en rigidecmatrico Ж.
    • Lau principo de kontraugredienco oni ricevas rilaton inter fortoj
    • Z= T*Uu .
    • Finfine ekestas la rigidecmatrico
    • Kz = T*ЖT
    • shargho R
    • sharghoj kiuj agas al konstrukcio devas esti transformotaj al nodofortoj R por eniri ekvacion kun fortoj Z . Tio estas baza tasko kaj povas esti solvota por chiu elemento helpe de variaj mekanikaj metodoj (ekz. Metodo lau Castigliano).




strukturo de konstruteorio

    • Metodo de momento-distribuado (CROSS-metodo)
    • Hardy CROSS (1930) proponas simplan metodon por analizi statike
    • nedeterminitajn konstrukciojn. Li eliras el sekvaj akceptoj:
    • a) pritrakti nur fleksmomentojn
    • b) baza elemento por analizo estu la fikstrabo,
    • c) kiel elirmodelo de reala konstrukcio estu konstrukcio entute fiksita
    • helpe de aldonitaj ligiloj,
    • d) sekve korekti la elirmodelon per distribuo de neekvilibritaj
    • fortoj ekestintaj en chiu aldonita ligilo
    • Priskribo-simboloj
    • aldonita ligilo, fiksanta turnon de nodo i ;
    • nodoturno mi = 0 , turnmomento Mi  0
    • malfikso de ligilo en nodo i : Validas ekvilibro de momentoj:
    • ekesto de nodoturno mi  0 kauze de neekvilibrita
    • parto Mi = -Mij. Pro statika ekvilibro parto Mi elvokas
    • reakciajn fiksmomentojn Mri en transaj nodoj r, s, k ...
    • Du helptaskoj
    • 1 Prikalkulu fiksmomentojn Mij, Mji lau eksteraj sharghoj Q
    • 2 Prikalkulu distribuitajn fiksmomentojn Mri elvokitaj de Mi


strukturo de konstruteorio

    • CROSS-Metodo
    • Kuplografo de momento-distribuadoj


strukturo de konstruteorio

    • Dinamika ekvacio
    • Se la ekstera forto Q(t) ekagos al konstrukcio rapide au mem estas funkcio de tempo, tiam ankau translokoj q(t) de konstrukciaj masopunktoj estas funcioj de tempo. Oni povas prikalkuli same rapidon kaj akcelon de masopunktoj. Plue, surbaze de Njuten-legho oni ricevos dinamikan ekvacion.
    • La kuplografo de mekanikaj rilatoj (vidu ) posedas jam chiujn necesajn parametrojn por ekspliki la bazajn dinamikajn diferencialajn ekvaciojn:
    • Oscilado libera Mq‘‘ = 0
    • Oscilado devigita Mq‘‘ + Q(t) = 0
    • Oscilado dampita Mq‘‘ + Cq‘ = 0
    • Oscilado dampit-devigita Mq‘‘ + Cq‘ +Q(t) = 0



Elŝuti 984 b.


Elŝuti 984 b.